Kategorientheorie

Kategorientheorie,

 

von S. Eilenberg und S. MacLane in den Jahren 1942-45 begründetes Teilgebiet der Mathematik; entstand, um Phänomene, die in verschiedenen mathematischen Gebieten auftraten, einheitlich beschreiben und behandeln zu können.

 

Unter einer Kategorie versteht man die Gesamtheit von Objekten A, B, C,. .. und von Morphismen f, g, h,. .., in der jedem geordneten Paar (A, B) von Objekten eine Menge Mor (A, B) von Morphismen zugeordnet wird. Jedem Morphismus f aus Mor (A, B) und g aus Mor (B, C) soll hierbei ein Morphismus f ° g aus Mor (A, C), die Komposition von f und g, zugeordnet sein. Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein: 1) Die Komposition von Morphismen ist assoziativ, d. h. (f ° g) ° h = f ° (g ° h). 2) Für jedes Objekt B gibt es in Mor (B, B) ein Element e_B (identischer Morphismus), sodass für f aus Mor (A, B) und g aus Mor (B, C) gilt: f ° e_B = f und e_B ° g = g. 3) Für alle Objekte A, A', B, B' gilt: Ist die Schnittmenge zwischen Mor (A, B) und Mor (A', B') nicht leer, dann ist A = A' und B = B'.

 

Kategorien setzt man untereinander mithilfe von Funktoren in Beziehung. Ein (kovarianter) Funktor F ordnet jedem Objekt A der einen Kategorie genau ein Objekt F (A) der anderen, jedem Morphismus f der einen genau einen Morphismus F (f) der anderen zu, wobei folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

 

1) F (e_A) = e_{F (A )};

 

2) F (f ° g) = F (f) ° F (g), für alle f aus Mor (A, B) und g aus Mor (B, C).

 

Literatur:

 

B. Pareigis: Kategorien u. Funktoren (1969);

 Z. Semadeni u. A. Wiweger: Einf. in die Theorie der Kategorien u. Funktoren (a. d. Poln., Leipzig 1979).